Question

3．设函数f（x）=m（x-4）²+2lnx，其中m∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴相交于（0，6）
（1）求m的值；
（2）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）先由所给函数的表达式，求导数f′（x），再根据导数的几何意义求出切线的斜率，最后由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴相交于点（0，6）列出方程求m的值即可；
（2）由（1）求出的原函数及其导函数，求出导函数的零点，把函数的定义域分段，判断导函数在各段内的符号，从而得到函数的单调区间．

解答 解：（1）f（x）=m（x-4）²+2lnx，
导数f′（x）=2m（x-4）+$\frac{2}{x}$，（x＞0），
令x=1，得f（1）=9m，f′（1）=2-6m，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为
y-9m=（2-6m）（x-1），
由切线与y轴相交于点（0，6），
∴6-9m=6m-2，
∴m=$\frac{8}{15}$；
（2）由（1）得f（x）=$\frac{8}{15}$（x-4）²+2lnx，（x＞0），
即有f′（x）=$\frac{16}{15}$（x-4）+$\frac{2}{x}$=$\frac{16{x}^{2}-64x+30}{15x}$，
令f′（x）=0，得x=2-$\frac{\sqrt{34}}{4}$或x=2+$\frac{\sqrt{34}}{4}$．
当0＜x＜2-$\frac{\sqrt{34}}{4}$或x＞2+$\frac{\sqrt{34}}{4}$时，f′（x）＞0，
故f（x）的增区间为（0，2-$\frac{\sqrt{34}}{4}$），（2+$\frac{\sqrt{34}}{4}$，+∞）；
当2-$\frac{\sqrt{34}}{4}$＜x＜2+$\frac{\sqrt{34}}{4}$时，f′（x）＜0，
故f（x）的减区间为（2-$\frac{\sqrt{34}}{4}$，2+$\frac{\sqrt{34}}{4}$）．

点评 本题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的单调性及其几何意义等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．