如图.已知直线l:x+$\sqrt{3}$y-c=0为公海与领海的分界线.一艘巡逻艇在O处发现了北偏东60°海面上A处有一艘走私船.走私船正向停泊在公海上接应的走私海轮B航行.以使上海轮后逃窜．已知巡逻艇的航速是走私船航速的2倍.且两者都是沿直线航行.但走私船可能向任一方向逃窜．(1)如果走私船和巡逻船相距6海里.求走私船能被截获的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

11．

如图，已知直线l：x+$\sqrt{3}$y-c=0（c＞0）为公海与领海的分界线，一艘巡逻艇在O处发现了北偏东60°海面上A处有一艘走私船，走私船正向停泊在公海上接应的走私海轮B航行，以使上海轮后逃窜．已知巡逻艇的航速是走私船航速的2倍，且两者都是沿直线航行，但走私船可能向任一方向逃窜．
（1）如果走私船和巡逻船相距6海里，求走私船能被截获的点的轨迹；
（2）若O与公海的最近距离20海里，要保证在领海内捕获走私船（即不能截获走私船的区域与公海不想交）．则O，A之间的最远距离是多少海里？

分析（1）设截获点为P（x，y），根据|OP|=2|AP|列方程化简即可；
（2）设|OA|=t，求出截获点轨迹方程，根据直线与圆不相交列不等式得出t的范围即可得出|OA|的最大值．

解答解：（1）由题意知点A（3$\sqrt{3}$，3），设走私船能被截获的点为P（x，y），
则|OP|=2|AP|，
即$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=2$\sqrt{（x-3\sqrt{3}）^{2}+（y-3）^{2}}$，整理得：（x-4$\sqrt{3}$）²+（y-4）²=16．
∴走私船能被截获的点的轨迹是以（4$\sqrt{3}$，4）为圆心，以4为半径的圆．
（2）由题意得$\frac{c}{2}$=20，即c=40．∴直线l的方程为x+$\sqrt{3}$y-40=0．
设|OA|=t，则A（$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，$\frac{1}{2}$t）（t＞0），
设走私船能被截获的点为P（x，y），则|OP|=2|AP|，
∴$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=2$\sqrt{（x-\frac{\sqrt{3}}{2}t）^{2}+（y-\frac{1}{2}t）^{2}}$，
整理得：（x-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t）²+（y-$\frac{2}{3}$t）²=$\frac{4}{9}{t}^{2}$，
∴走私船能被截获的点的轨迹是以C（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t，$\frac{2}{3}t$）为圆心，以$\frac{2}{3}t$为半径的圆．
若保证在领海内捕获走私船，则圆心C到直线l的距离d≥$\frac{2}{3}t$．
∴$\frac{|\frac{2\sqrt{3}}{3}t+\frac{2\sqrt{3}}{3}t-40|}{2}$≥$\frac{2}{3}$t，
解得：t≤$\frac{30}{\sqrt{3}+1}$=15（$\sqrt{3}$-1），
∴O，A之间的最远距离是15（$\sqrt{3}$-1）海里．