Question

已知函数f（x）=x²+2alnx．
（1）若函数f（x）的图象在（2，f（2））处的切线斜率为1，求实数a的值；
（2）若函数g（x）=

2

x

+f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）由导数的几何意义得f'（2）=1，解得即可；
（2）根据函数的单调性与导数的关系可得g'（x）≤0在[1，2]上恒成立，即-

2

x2

+2x+

2a

x

≤0在[1，2]上恒成立．即a≤

1

x

-x2在[1，2]上恒成立．利用导数求出函数h(x)=

1

x

-x2，在[1，2]上的最小值，即可得出结论．

解答： 解：（1）f′(x)=2x+

2a

x

=

2x2+2a

x

…（2分）
由已知f'（2）=1，解得a=-3．…（4分）
（2）由g(x)=

2

x

+x2+2alnx得g′(x)=-

2

x2

+2x+

2a

x

，
由已知函数g（x）为[1，2]上的单调减函数，
则g'（x）≤0在[1，2]上恒成立，
即-

2

x2

+2x+

2a

x

≤0在[1，2]上恒成立．
即a≤

1

x

-x2在[1，2]上恒成立．…（9分）
令h(x)=

1

x

-x2，在[1，2]上h′(x)=-

1

x2

-2x=-(

1

x2

+2x)＜0，
所以h（x）在[1，2]为减函数.h(x) min=h(2)=-

7

2

，
所以a≤-

7

2

．…（13分）

点评：本题主要考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、最值等知识，属于中档题．