题目内容
两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如下图中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a1=1，第2个五角形数记作a2=5，第3个五角形数记作a3=12，第4个五角形数记作a4=22，…，若按此规律继续下去，
（1）a5= ；
（2）若an=117，则n= ．
（1）a5=
（2）若an=117，则n=
考点：归纳推理
专题：常规题型,推理和证明
分析：本题属于归纳推理题，由n=1，2，3，4归纳出其中的规律，（1）利用规律指导解题，求出第5项；（2）利用规律研究通项公式，再根据某一项的值，求出项数．
解答：
解：（1）观察得知：
a1=1=3×1-2
a2=5=a1+3×2-2，
a3=12=a2+3×3-2，
a4=22=a3+3×4-2，an=3(1+2+3+…+n)-2n=
…
（1）由此归纳猜想，得到：
a5=a4+3×5-2=22+15-2=35．
（2）归纳猜想，得到：
an=an-1+3n-2，（n≥2，n∈N*）
将：
a1=1=3×1-2
a2=5=a1+3×2-2，
a3=12=a2+3×3-2，
a4=22=a3+3×4-2，
…，
an=an-1+3n-2，（n≥2，n∈N*）．
叠加得到：
an=3(1+2+3+…+n)-2n=
（n≥2，n∈N*）．
令an=117，
即
=117，n=9．
故答案为：（1）35；（2）9．
a1=1=3×1-2
a2=5=a1+3×2-2，
a3=12=a2+3×3-2，
a4=22=a3+3×4-2，an=3(1+2+3+…+n)-2n=
| 3n2-n |
| 2 |
…
（1）由此归纳猜想，得到：
a5=a4+3×5-2=22+15-2=35．
（2）归纳猜想，得到：
an=an-1+3n-2，（n≥2，n∈N*）
将：
a1=1=3×1-2
a2=5=a1+3×2-2，
a3=12=a2+3×3-2，
a4=22=a3+3×4-2，
…，
an=an-1+3n-2，（n≥2，n∈N*）．
叠加得到：
an=3(1+2+3+…+n)-2n=
| 3n2-n |
| 2 |
令an=117，
即
| 3n2-n |
| 2 |
故答案为：（1）35；（2）9．
点评：本题考查的是归纳推理，难点在于归纳推理得到递推规律以后，再利用递推规律进一步研究，得到通项公式，再利用通项公式解题．有一定的思维量和运算量，属于中档题．
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