Question

在△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，已知平面向量

m

=（sinC，cosC），

n

=（cosB，sinB），且

m

•

n

=sin2A．
（1）求sinA的值；
（2）若a=1，cosB+cosC=1，求边c的值．

Answer 1

考点：余弦定理,平面向量数量积的运算

专题：三角函数的求值

分析：（1）利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，整理后根据sinA不为0求出cosA的值，即可确定出sinA的值；
（2）已知等式变形后，利用两角和与差的余弦函数公式化简，整理后求出C的度数，进而得到A=B=C，即三角形ABC为等边三角形，即可确定出c的值．

解答： 解：（1）由题意，sin2A=sinCcosB+cosCsinB，
整理得：2sinAcosA=sin（B+C）=sinA，
∵△ABC中，sinA＞0，
∴2cosA=1，即cosA=

1

2

，
∴A=

π

3

，
∴sinA=

3

2

；
（Ⅱ）由cosB+cosC=1，得-cos（A+C）+cosC=1，
即sinAsinC-cosAcosC+cosC=1，
∴

3

2

sinC+

1

2

cosC=1，即sin（C+

π

6

）=1，
∵0＜C＜

2π

3

，即

π

6

＜C+

π

6

＜

5π

6

，
∴C=

π

3

，即A=B=C=

π

3

，
∴△ABC为正三角形，
则c=a=1．

点评：此题考查了余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，及二倍角的正弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．