Question

15．已知奇函数f（x）定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），f′（x）为其导函数，且满足以下条件①x＞0时，f′（x）＜$\frac{3f（x）}{x}$；②f（1）=$\frac{1}{2}$；③f（2x）=2f（x），则不等式$\frac{f（x）}{4x}$＜2x²的解集为（-$∞，-\frac{1}{4}$）$∪（\frac{1}{4}，+∞）$．

Answer 1

分析 构造函数F（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{3}}$，依题意，可分析得到F（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{3}}$为偶函数，在（0，+∞）上单调递减，在（-∞，0）上单调递增，由$\frac{f（x）}{4x}$＜2x²等价于$\frac{f（x）}{{x}^{3}}$＜8，由f（1）=$\frac{1}{2}$及f（2x）=2f（x），求得F（$\frac{1}{4}$）=8，则F（x）＜F（$\frac{1}{4}$），从而可得答案．

解答 解：令F（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{3}}$，则F′（x）=$\frac{xf′（x）-3f（x）}{{x}^{4}}$，
∵x＞0时，f′（x）＜$\frac{3f（x）}{x}$，
∴F′（x）＜0，
∴F（x）在（0，+∞）上单调递减，又f（x）为奇函数，
∴F（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{3}}$为偶函数，
∴F（x）在（-∞，0）上单调递增，
又f（1）=$\frac{1}{2}$，f（2x）=2f（x），
∴f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$f（1）=$\frac{1}{4}$，f（$\frac{1}{4}$）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{8}$，
∴F（$\frac{1}{4}$）=$\frac{f（\frac{1}{4}）}{（\frac{1}{4}）^{3}}$=8，
∴$\frac{f（x）}{4x}$＜2x²等价于$\frac{f（x）}{{x}^{3}}$＜8，即F（x）＜F（$\frac{1}{4}$），故|x|＞$\frac{1}{4}$，
解得：x＞$\frac{1}{4}$或x＜-$\frac{1}{4}$．
故答案为：（-∞，-$\frac{1}{4}$）∪（$\frac{1}{4}$，+∞）．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查学生根据题意构造辅助函数的能力，考查分析、推理与逻辑思维能力，属于难题．