Question

5．定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=x-2
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求不等式f（x）＜2的解集．

Answer 1

分析 （1）先根据f（x）是定义在R上的奇函数，得到f（0）=0，再设x＜0时，则-x＞0，结合题意得到f（-x）=-x-2，然后利用函数的奇偶性进行化简，进而得到函数的解析式．
（2）利用（1）的结论，即可求不等式f（x）＜2的解集．

解答 解：（1）由题意知：f（-0）=-f（0）=f（0），f（0）=0；
当x＜0时，则-x＞0，
因为当x＞0时，f（x）=x-2，
所以f（-x）=-x-2，
又因为f（x）是定义在R上的奇函数，
所以f（-x）=-f（x），
所以f（x）=x+2，
所以f（x）的表达式为：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+2，x＜0}\\{0，x=0}\\{x-2，x＞0}\end{array}\right.$．
（2）x＜0时，x+2＜2，∴x＜0；
x=0，符合题意；
x＞0时，x-2＜2，∴x＜4，∴0＜x＜4．
∴不等式的解集为（-∞，4）．

点评 本题主要考查利用函数的奇偶性求函数的解析式，考查学生解不等式的能力，x=0是此类题目的易忘点，此题属基础题．