Question

5．已知函数f（x）=log_a（a^x-1）（ a＞0，a≠1 ）
（1）讨论函数f（x）的定义域；
（2）当a＞1时，解关于x的不等式：f（x）＜f（1）；
（3）当a=2时，不等式f（x）-log₂（1+2^x）＞m对任意实数x∈[1，3]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由a^x-1＞0，得a^x＞1 下面分类讨论：当a＞1时，x＞0；当0＜a＜1时，x＜0即可求得f（x）的定义域
（2）根据函数的单调性解答即可；
（3）令g（x）=f（x）-log₂（1+2^x）=log₂（1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}）$在[1，3]上是单调增函数，只需求出最小值即可．

解答 解：（1）由a^x-1＞0，得a^x＞1．（1分）
当a＞1时，x＞0；（2分）
当0＜a＜1时，x＜0．（3分）
所以f（x）的定义域是当a＞1时，x∈（0，+∞）；当0＜a＜1时，x∈（-∞，0）．（4分）
（2）当a＞1时，任取x₁、x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，（5分）
则ax1＜ax2，所以ax1-1＜ax2-1．（6分）
因为a＞1，所以loga（ax1-1）＜loga（ax2-1），即f（x₁）＜f（x₂）．（8分）
故当a＞1时，f（x）在（0，+∞）上是增函数．
∵f（x）＜f（1）；
∴a^x-1＜a-1，
∵a＞1，
∴x＜1；
（3）∵令g（x）=f（x）-log₂（1+2^x）=log₂（1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}）$在[1，3]上是单调增函数，
∴g（x）_min=-log₂3，
∵m＜g（x），
∴m＜-log₂3．

点评 本题主要考查对数函数有关的定义域、单调性、值域的问题，属于中档题．