Question

某化工厂生产的某种化工产品，当年产量在150吨至250吨之间时，其生产的总成本y（万元）与年产量（吨）之间的函数关系式近似地表示为y=

x2

10

-30x+4000．问：
（1）每吨平均出厂价为16万元，年产量为多少吨时，可获得最大利润？并求出最大利润；
（2）年产量为多少吨时，每吨的平均成本最低？并求出最低成．

Answer 1

考点：基本不等式在最值问题中的应用

专题：应用题,不等式的解法及应用

分析：（1）根据题意得出z=16x-（

x2

10

-30x+4000）=-

x2

10

+46x-4000=-

1

10

（x-230）²+1290，（150≤x≤250），利用二次函数求解即可．
（2）得出函数式子W=

y

x

=

x

10

4000

x

-30=

1

10

（x+

40000

x

）-30，（150≤x≤250），运用基本不等式求解即可．

解答： 解：（1）年产量为x，年利润为z万元，根据题意得：
z=16x-（

x2

10

-30x+4000）=-

x2

10

+46x-4000
=-

1

10

（x-230）²+1290，（150≤x≤250），
当x=230时，y_大=1290（万元），
（2）年产量为x吨时，每吨的平均成本为W万元，为y=

x2

10

-30x+4000．
∴W=

y

x

=

x

10

4000

x

-30=

1

10

（x+

40000

x

）-30，（150≤x≤250），
∵x+

40000

x

≥2

40000

=400，（x=200等号成立），
∴x=200时，W_最小=

1

10

×400-30=10．
故年产量为200吨时，每吨的平均成本最低为10万元．

点评：本题考查了函数，基本不等式在实际问题中的应用，属于中档题．