Question

设A、B、C、D是表面积为4π的球面上的四点，且AB、AC、AD两两互相垂直，则△ABC、△ABD、△ACD的面积之和S_△ABC+S_△ABD+S_△ACD的最大值为（　　）

• A、4
• B、3
• C、2
• D、1

Answer 1

考点：球内接多面体

专题：空间位置关系与距离

分析：由题意知，此四点组成的三个线段恰好是一个正方形同一个顶点出发的三条棱，由此解题方法明确，视AB，AC，AD为球的内接长方体的一个角，长方体的对角线即为球的直径，设它们的长分别为：a，b，c．故a²+b²+c²=4，计算三个三角形的面积之和，利用基本不等式求最大值．

解答： 解：由题意，AB、AC、AD两两互相垂直，故三个线段是一个正方体共顶点的三条棱，此正方体的体对角线恰好是外接球的直径
∵A、B、C、D是表面积为4π的球面上的四点，r=1
∴球的直径是2，
设AB=a，AC=b，AD=c，
则可知AB，AC，AD为球的内接长方体的一个角．
设它们的长分别为：a，b，c．故a²+b²+c²=4，
而 S_△ABC+S_△ACD+S_△ADB=

1

2

（ab+ac+bc）≤

1

4

（a²+b²+a²+c²+b²+c²）≤

1

2

（a²+b²+c²）=2．
则△ABC，△ACD，△ADB面积之和的最大值是2
故选：C

点评：本题考查球内接多面体，解题的关键是能理解出球的内接正方体的体对角线就是直径，
球内接多面体、利用基本不等式求最值问题，考查了同学们综合解决交汇性问题的能力，解答关键是利用构造法求球的直径得到a²+b²+c²=4．