Question

已知数列{a_n}满足a₁=10，a_n+1=

an-3，n＞3 -an+1，n≤3

．
（1）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（2）已知自大到小的3个正数b₁、b₂、b₃满足b₁+b₂+b₃=21，b₁b₂+b₂b₃+b₃b₁=138，证明：当b₃≥a₃时，则有b₁≥a₁．

Answer 1

考点：数列的求和,数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得a₁=10，a₂=-10+1=-9，a_n=10-（n-3）×3=19-3n，n≥3，由此能求出数列{a_n}的前n项和．
（2）由自大到小的3个正数b₁、b₂、b₃满足b₁+b₂+b₃=21，b₁b₂+b₂b₃+b₃b₁=138，得b₃≥a₃=10，从而b₁＞b₃≥a₃=10=a₁，由此能证明b₁≥a₁．

解答： （1）解：∵数列{a_n}满足a₁=10，a_n+1=

an-3，n＞3 -an+1，n≤3

．
∴a₂=-10+1=-9，
a₃=9+1=10，
a₄=10-3=7，
a₅=10-2×3=4，
a₆=10-3×3=1，
a₇=-1+1=0，
a₈=-0+1=1，
a₉=-1+1=0，
…
∴S_n=

10，n=1 1，n=2 - 3 2 n2+ 35 2 n-28，n≥3

．
（2）证明：∵自大到小的3个正数b₁、b₂、b₃满足b₁+b₂+b₃=21，b₁b₂+b₂b₃+b₃b₁=138，
b₃≥a₃=10，
∴b₁＞b₃≥a₃=10=a₁，
∴b₁≥a₁．

点评：本题考查数列的前n项和的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意递推思想的合理运用．