Question

证明：对任意大于2的正整数n，（1+2+…+n）（1+

1

2

+…+

1

n

）≥n²+n-1．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：证明题,点列、递归数列与数学归纳法,不等式的解法及应用

分析：运用数学归纳法证明．验证当n=3、4时，不等式成立，假设n=k时，不等式成立，证明n=k+1时，不等式也成立，注意运用分析法证明，结合假设即可得证．

解答： 证明：运用数学归纳法证明．
当n=3时，不等式左边=（1+2+3）（1+

1

2

+

1

3

）=11，右边=3²+3-1=11，左边=右边，
不等式成立；
当n=4时，左边=（1+2+3+4）（1+

1

2

+

1

3

+

1

4

）=

125

6

，右边=4²+4-1=19，左边＞右边，
不等式成立；
假设n=k时，（1+2+…+k）（1+

1

2

+…+

1

k

）≥k²+k-1（k≥3）
则当n=k+1时，要证（1+2+…+k+k+1）（1+

1

2

+…+

1

k

+

1

k+1

）≥（k+1）²+k+1-1，
即证（1+2+…+k）（1+

1

2

+…+

1

k

）+（k+1）（1+

1

2

+…+

1

k

）+

1

k+1

（1+2+…+k）≥（k+1）²+k，
由假设，可得即证k²+k-1+（k+1）（1+

1

2

+…+

1

k

）+

1

k+1

（1+2+…+k）≥（k+1）²+k，
即有（k+1）（1+

1

2

+…+

1

k

）+

1

k+1

（1+2+…+k）≥2k+2，
即（k+1）（1+

1

2

+…+

1

k

）+

1

k+1

×

1

2

（k+1）k≥2k+2，
即有（k+1）（1+

1

2

+…+

1

k

）≥2+

3k

2

，
即有（k+1）（

1

2

+…+

1

k

）≥1+

1

2

k，显然

1

2

k+

1

2

+…+

k+1

k

≥1+

1

2

k．
以上均可逆．
则n=k+1时，（1+2+…+k+k+1）（1+

1

2

+…+

1

k

+

1

k+1

）≥（k+1）²+k+1-1成立．
综上，可得对任意大于2的正整数n，（1+2+…+n）（1+

1

2

+…+

1

n

）≥n²+n-1．

点评：本题考查不等式的证明，考查运用数学归纳法证明不等式的方法，注意解题步骤，同时注意运用分析法证明，考查推理能力，属于中档题．