Question

已知点F（1，0），直线l：x=-1，点P在直线l上运动，PQ⊥l，线段PF与y轴的交点为R，且

RQ

•

FP

=0．
（1）求动点Q的轨迹C的方程
（2）直线l与x轴交于点M，过F的直线l₁交轨迹C于A，B两点，试探究点M与以AB为直径的圆的位置关系，并加以说明．

Answer 1

考点：轨迹方程,直线与圆的位置关系

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由已知条件知，点R是线段FP的中点，RQ是线段FP的垂直平分线，点Q的轨迹E是以F为焦点，l为准线的抛物线，写出抛物线标准方程．
（2）分类讨论，求出|MN|与半径，即可得出结论．

解答： 解：（1）依题意知，直线l的方程为：x=-1，设直线l与x轴交于点K（-1，0），由OK平行于直线l可得，
OR是△FPK的中位线，故点R是线段FP的中点．
又RQ⊥FP，∴RQ是线段FP的垂直平分线．∴|PQ|是点Q到直线l的距离．
∵点Q在线段FP的垂直平分线，∴|PQ|=|QF|．
故动点Q的轨迹E是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程为：y²=4x．
（2）①AB⊥x轴时，以AB为直径的圆的方程为（x-1）²+y²=4，M（-1，0）在圆上；
②AB斜率存在时，设方程为y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直线代入抛物线可得k²x²-（4+2k²）x+k²=0，
∴x₁+x₂=2+

4

k2

，x₁x₂=1，
圆的直径|AB|=x₁+x₂+p=4+

4

k2

，AB中点（1+

2

k2

，

2

k

），
∴|MN|=

(1+ 2 k2 +1)2+ 4 k2

＞

4+ 8 k2 + 4 k4

=2+

2

k2

=

1

2

|AB|，
∴M（-1，0）在圆外．

点评：本题考查轨迹方程的求法、抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于难题．