题目内容
福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业，现在福彩中心准备发行一种面值为5元的福利彩票刮刮卡，设计方案如下：①该福利彩票中奖率为50%；②每张中奖彩票的中奖奖金有5元，50元和150元三种；③顾客购买一张彩票获得150元奖金的概率为p，获得50元奖金的概率为2%．
（1）假设某顾客一次性花50元购买10张彩票，求该顾客中奖的概率；
（2）设福彩中心卖出一张彩票获得的资金为X元，求X的概率分布（用p表示）；
（3）为了能够筹得资金资助福利事业，求p的取值范围．
（1）假设某顾客一次性花50元购买10张彩票，求该顾客中奖的概率；
（2）设福彩中心卖出一张彩票获得的资金为X元，求X的概率分布（用p表示）；
（3）为了能够筹得资金资助福利事业，求p的取值范围．
考点：离散型随机变量及其分布列,古典概型及其概率计算公式
专题：概率与统计
分析：（1）设至少一张中奖为事件A，由此利用对立事件的概率计算公式能求出顾客中奖的概率．
（2）设福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金为X元，X可以取5，0，-45，-145，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．
（3）由（2）X的期望为E（X）=5×0.5+0×（0.5-0.02-p）+（-45）×0.02+（-145）×p=1.6-145p，由此结合已知条件能求出当0＜p＜
时，福彩中心可以获取资金资助福利事业．
（2）设福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金为X元，X可以取5，0，-45，-145，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．
（3）由（2）X的期望为E（X）=5×0.5+0×（0.5-0.02-p）+（-45）×0.02+（-145）×p=1.6-145p，由此结合已知条件能求出当0＜p＜
| 8 |
| 725 |
解答：
解：（1）设至少一张中奖为事件A，
则顾客中奖的概率P（ ）A）=1-0.510=
．
（2）设福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金为X元，
则X可以取5，0，-45，-145，
X的分布列为：
（3）由（2）X的期望为E（X）=5×0.5+0×（0.5-0.02-p）+（-45）×0.02+（-145）×p=1.6-145p，
∴福彩中心能够筹得资金E（X）=1.6-145p＞0，即0＜p＜
，
所以当0＜p＜
时，福彩中心可以获取资金资助福利事业．
则顾客中奖的概率P（ ）A）=1-0.510=
| 1023 |
| 1024 |
（2）设福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金为X元，
则X可以取5，0，-45，-145，
X的分布列为：
| X | 5 | 0 | -45 | -145 |
| P | 0.5 | 0.5-0.02-p | 0.02 | p |
∴福彩中心能够筹得资金E（X）=1.6-145p＞0，即0＜p＜
| 8 |
| 725 |
所以当0＜p＜
| 8 |
| 725 |
点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．
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