Question

设f（x）是定义在R上的偶函数，?x∈R，都有f（2-x）=f（2+x），且当x∈[0，2]时，f（x）=2^x-2，若函数g（x）=f（x）-log_a（x+1）（a＞0，a≠1）在区间（-1，9]内恰有三个不同零点，则实数a的取值范围是（　　）

• A、（0，

  1

  9

  ）∪（

  7

  ，+∞）
• B、（

  1

  9

  ，1）∪（1，

  3

  ）
• C、（

  1

  9

  ，

  1

  5

  ）∪（

  3

  ，

  7

  ）
• D、（

  1

  7

  ，

  1

  3

  ）∪（

  5

  ，3）

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：

分析：由f（x）是定义在R上的偶函数，且f（2+x）=f（2-x），推出函数f（x）是以4为最小正周期的函数，结合题意画出在区间（-1，9）内函数f（x）和y=log_a（x+1）的图象，注意对a讨论，分a＞1，0＜a＜1，结合图象即可得到a的取值范围．

解答： 解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（2+x）=f（2-x）=f（x-2），
即f（x+4）=f（x）
∴f（x+4）=f（x），
则函数f（x）是以4为最小正周期的函数，
∵当x∈[0，2]时，f（x）=2^x-2，
f（x）是定义在R上的偶函数，
∴当x∈[-2，0]时，f（x）=f（-x）=2^-x-1，
结合题意画出函数f（x）在x∈（-1，9]上的图象
与函数y=log_a（x+1）的图象，
①若0＜a＜1，要使f（x）与y=log_a（x+1）的图象，恰有3个交点，
则

f(4)＜g(4) f(8)＞g(8)

，
即

-1＜loga5 -1＞loga9

，
解得

a＜ 1 5 a＞ 1 9

即a∈（

1

9

，

1

5

），
②若a＞1，要使f（x）与y=log_a（x+1）的图象，恰有3个交点，
则

f(2)＞g(2) f(6)＜g(6)

，
即

2＞loga3 2＜loga7

解得

a＞ 3 a＜ 7

，
即a∈（

3

，

7

），
综上a的取值范围是（

1

9

，

1

5

）∪（

3

，

7

）
故选：C．

点评：本题主要考查函数的奇偶性和周期性及其运用，同时考查数形结合的数学思想方法，以及对底数a的讨论．