Question

设向量

a

=（

3

sinx，sinx），

b

=（cosx，sinx），x∈[0，

π

2

]
（1）若|

a

|=|

b

|，求x的值；
（2）设函数f（x）=

a

•

b

，求f（x）的最大值，并指出对应x的值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,平面向量数量积的运算,三角函数的最值

专题：三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（1）求出|

a

|²，|

b

|²，利用向量的模相等，即可求x的值；
（2）通过

a

•

b

以及两角和与差的三角函数化简函数为一个简单一个三角函数的形式，求出相位的范围，利用正弦函数的值域求f（x）的最大值，并指出对应x的值．

解答： 解：（1）由|

a

|²=（

3

sinx）²+sin²x=4sin²x，
|

b

|²=cos²x+sin²x=1，及|

a

|=|

b

|，得4sin²x=1．
又x∈[0，

π

2

]，从而sin x=

1

2

，所以x=

π

6

．…（6分）
（2）f（x）=

a

•

b

=

3

sinx•cosx+sin²x=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x+

1

2

=sin（2x-

π

6

）+

1

2

，
当x=

π

3

∈[0，

π

2

]时，sin（2x-

π

6

）取最大值1．
所以f（x）的最大值为

3

2

．…（12分）

点评：本题考查两角和与差的三角函数以及向量的数量积、向量的模，考查分析问题解决问题的能力．