Question

17．己知抛物线y²=4x的焦点为F，过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，则直线的斜率为±2$\sqrt{2}$时，|AF|+4|BF|取得最小值．

Answer 1

分析 由题意，设|AF|=m，|BF|=n，则$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{2}{p}$=1，利用基本不等式可求m+4n的最小值时，m=2n．设过F的直线方程，与抛物线方程联立，整理后，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）根据韦达定理可求得x₁x₂=1，x₁+x₂=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$
根据抛物线性质可知，|AF|=x₁+1，|BF|=x₂+1，即可得出结论．

解答 解：由题意，设|AF|=m，|BF|=n，则$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{2}{p}$=1，
∴m+4n=（$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$）（m+4n）=5+$\frac{4n}{m}$+$\frac{m}{n}$≥9，
当且仅当m=2n时，m+4n的最小值为9，
设直线的斜率为k，方程为y=k（x-1），代入抛物线方程，得 k²（x-1）²=4x．
化简后为：k²x²-（2k²+4）x+k²=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
则有x₁x₂=1，x₁+x₂=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$
根据抛物线性质可知，|AF|=x₁+1，|BF|=x₂+1，
∴x₁+1=2（x₂+1），
联立可得k=±2$\sqrt{2}$．
故答案为：±2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查抛物线的性质和应用，正确运用基本不等式是关键．对于过抛物线焦点的直线与抛物线关系，常用抛物线的定义来解决．