Question

6．设函数f（x）=$\sqrt{4-x}$+$\sqrt{{4}^{x}-4}$的定义域是A，集合B={x|m≤x≤m+2}．
（1）求定义域A；
（2）若A∪B=A，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用函数$\sqrt{{4}^{x}-4}$的定义域能求出定义域A．
（2）由A={x|1≤x≤4}，B={x|m≤x≤m+2}，A∪B=A，知B?A，根据B=∅、B≠∅分类讨论，能求出m的取值范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）=$\sqrt{4-x}$+$\sqrt{{4}^{x}-4}$的定义域是A，
∴定义域A={x|$\left\{\begin{array}{l}{4-x≥0}\\{{4}^{x}-4≥0}\end{array}\right.$}={x|1≤x≤4}．
（2）∵A={x|1≤x≤4}，B={x|m≤x≤m+2}，A∪B=A，
∴B⊆A，
当B=∅时，m＞m+2，无解；
当B≠∅时，$\left\{\begin{array}{l}{m≥1}\\{m+2≤4}\end{array}\right.$，解得1≤m≤2．
∴m的取值范围是[1，2]．

点评 本题考查定义域的求法，考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集定义的合理运用．