Question

已知a、b、c成等差数列且公差d≠0，求证：

1

a

、

1

b

、

1

c

不可能成等差数列．

Answer 1

考点：等差关系的确定

专题：反证法,等差数列与等比数列

分析：命题是否定形式的命题的证明一般采用反证法证明．

解答： 证明：假设

1

a

、

1

b

、

1

c

成等差数列，

1

b

-

1

a

=

1

c

-

1

b

即

a-b

ab

=

b-c

bc

，∴

a-b

a

=

b-c

c

又∵a，b，c成等差数列，且公差d≠0，
∴a-b=b-c≠0．∴a=c，
这与已知数列a，b，c的公差d≠0，a≠c相矛盾，
所以数列

1

a

、

1

b

、

1

c

不可能成等差数列．

点评：本题考查了反证法证明否定性命题．
 反证法是一种间接证法，一般地假设命题不成立，推出与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定为假，推出为真的方法叫做反证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法．
用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：（1）反设；（2）归谬；（3）结论．