Question

6．在平面直角坐标系中，已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=m+t\\ y=t\end{array}\right.$（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ²cos²θ+3ρ²sin²θ=12，点F的极坐标为（2$\sqrt{2}$，π），且F在直线l上．
（Ⅰ）若直线l与曲线C交于A、B两点，求|FA|•|FB|的值；
（Ⅱ）求曲线C内接矩形周长的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）点F的直角坐标为（-2$\sqrt{2}$，0），求出m=-2$\sqrt{2}$，曲线C的直角坐标方程为x²+3y²=12，将直线l的标准参数方程代入曲线C的直角坐标方程中，得t′²-2t′-2=0，由此能求出|FA|•|FB|．
（Ⅱ）设椭圆C的内接矩形在第一象限的顶点为（2$\sqrt{3}$cosθ，2sinθ），由对称性可得椭圆C的内接矩形的周长为8$\sqrt{3}$cosθ+8sinθ=16sin（θ+$\frac{π}{3}$），由此能求出椭圆C的内接矩形的周长的最大值．

解答 （本小题满分10分）
解：（Ⅰ）∵点F的极坐标为（2$\sqrt{2}$，π），
∴点F的直角坐标为（-2$\sqrt{2}$，0），
由题意得$\left\{\begin{array}{l}-2\sqrt{2}=m+t\\ 0=t\end{array}\right.$，解得m=-2$\sqrt{2}$，
∵曲线C的极坐标方程为ρ²cos²θ+3ρ²sin²θ=12，
∴直角坐标方程为x²+3y²=12．…（3分）
将直线l的标准参数方程$\left\{\begin{array}{l}x=-2\sqrt{2}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t'\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t'\end{array}\right.$（t′为参数）代入曲线C的直角坐标方程中，
得t′²-2t′-2=0，∴t′_A•t′_B=-2
∴|FA|•|FB|=2．…（5分）
（Ⅱ）设椭圆C的内接矩形在第一象限的顶点为（2$\sqrt{3}$cosθ，2sinθ），
由对称性可得椭圆C的内接矩形的周长为8$\sqrt{3}$cosθ+8sinθ=16sin（θ+$\frac{π}{3}$），…（8分）
∴当θ+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，即θ=$\frac{π}{6}$时，椭圆C的内接矩形的周长取得最大值16．…（10分）

点评 本题考查两线段乘积的求法，考查椭圆的内接知识的周长的最大值的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．