Question

18．已知函数f（x）=|2x+3|+|2x-1|
（1）求不等式f（x）≤5的解集；
（2）若关于x的不等式f（x）＜|m-2|的解集非空，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；
（2）求出f（x）的最小值，得到关于m的不等式，解出即可．

解答 解．（1）原不等式为：|2x+3|+|2x-1|≤5，
当$x≤-\frac{3}{2}$时，原不等式可转化为-4x-2≤5，即$-\frac{7}{4}≤x≤-\frac{3}{2}$；
当$-\frac{3}{2}＜x＜\frac{1}{2}$时，原不等式可转化为4≤5恒成立，所以$-\frac{3}{2}＜x＜\frac{1}{2}$；
当$x≥\frac{1}{2}$时，原不等式可转化为4x+2≤5，即$\frac{1}{2}≤x≤\frac{3}{4}$．
所以原不等式的解集为$\left\{{x|-\frac{7}{4}≤x≤\frac{3}{4}}\right\}$．…（5分）
（2）由已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-4x-2，x≤-\frac{3}{2}\\ 4，-\frac{3}{2}＜x＜\frac{1}{2}\\ 4x+2，x≥\frac{1}{2}\end{array}\right.$，
可得函数y=f（x）的最小值为4．…（8分）
所以|m-2|＞4，解得m＞6或m＜-2…（10分）

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．