在平面直角坐标系xOy中.曲线C的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}}\right.$．在极坐标系(与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位.且以原点O为极点.以x轴非负半轴为极轴)中.直线l的方程为$\sqrt{2}ρsin=3$．(1)求曲线C的普通方程及直线l� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

1．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}}\right.$（θ为参数）．在极坐标系（与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，直线l的方程为$\sqrt{2}ρsin（{θ-\frac{π}{4}}）=3$．
（1）求曲线C的普通方程及直线l的直角坐标方程；
（2）设P是曲线C上的任意一点，求点P到直线l的距离的最大值．

分析（1）曲线C的参数方程消去参数θ，能求出曲线C的普通方程；直线l的极坐标方程转化为ρsinθ-ρcosθ=3，由此能求出直线l的直角坐标方程．
（2）设$P（{\sqrt{3}cosθ，sinθ}）$，利用点到直线的距离公式求出点P到直线l的距离，由此能求出点P到直线l的距离的最大值．

解答解：（1）因为曲线C的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}}\right.$（θ为参数）．
所以${（{\frac{x}{{\sqrt{3}}}}）^2}+{y^2}={cos^2}θ+{sin^2}θ=1$，
所以曲线C的普通方程为$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$，
因为直线l的方程为$\sqrt{2}ρsin（{θ-\frac{π}{4}}）=3$．
展开得ρsinθ-ρcosθ=3，即y-x=3，
所以直线l的直角坐标方程为x-y+3=0；
（2）设$P（{\sqrt{3}cosθ，sinθ}）$，
则点P到直线l的距离为$d=\frac{{|{\sqrt{3}cosθ-sinθ+3}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{|{2sin（{θ-\frac{π}{3}}）-3}|}}{{\sqrt{2}}}≤\frac{{5\sqrt{2}}}{2}$
等号成立当且仅当$sin（{θ-\frac{π}{3}}）=-1$，
即$θ=2kπ+\frac{11π}{6}（{k∈Z}）$，即$P（{\frac{3}{2}，-\frac{1}{2}}）$时成立，
因此点P到直线l的距离的最大值为$\frac{{5\sqrt{2}}}{2}$．

点评本题考查曲线的普通坐标方程、直线的直角坐标方程的求法，考查点到直线的距离的最大值的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．