题目内容

2．已知复数z1=a2-3+（a+5）i，z2=a-1+（a2+2a-1）i（a∈R）分别对应向量$\overrightarrow{O{Z}_{1}}$，$\overrightarrow{O{Z}_{2}}$（O为原点）
（1）若向量$\overrightarrow{O{Z}_{1}}$表示的点的坐标在第四象限，求a的取值范围；
（2）若向量$\overrightarrow{{Z}_{1}{Z}_{2}}$对应的复数为纯虚数，求a的值．

分析 （1）由向量$\overrightarrow{O{Z}_{1}}$表示的点的坐标在第四象限，列出不等式组，求解即可得到a的取值范围；
（2）根据向量$\overrightarrow{{Z}_{1}{Z}_{2}}$对应的复数为z2-z1=-（a2-a-2）+（a2+a-6）i为纯虚数，可得-（a2-a-2）=0，且（a2+a-6）≠0，由此求得a的值．

解答 解：（1）∵复数z1=a2-3+（a+5）i，向量$\overrightarrow{O{Z}_{1}}$表示的点的坐标在第四象限，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-3＞0}\\{a+5＜0}\end{array}\right.$，解得a＜-5．
∴a的取值范围是a＜-5；
（2）∵$\overrightarrow{{Z}_{1}{Z}_{2}}$=$\overrightarrow{O{Z}_{2}}$-$\overrightarrow{O{Z}_{1}}$，
∴向量$\overrightarrow{{Z}_{1}{Z}_{2}}$对应的复数为z2-z1=[a-1+（a2+2a-1）i]-[a2-3+（a+5）i]
=-（a2-a-2）+（a2+a-6）i．
再根据向量$\overrightarrow{{Z}_{1}{Z}_{2}}$对应的复数为纯虚数，可得-（a2-a-2）=0，且（a2+a-6）≠0．
解得a=-1．

点评 本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数的基本概念，属于基础题．

练习册系列答案
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