题目内容
17．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S8＞S9＞S7，给出下列四个命题：①d＜0；
②S16＜0；
③数列{Sn}中的最大项为S15；
④|a8|＞|a9|．
其中正确命题有①④．
分析 由S8＞S9，且S9=S8+a9，得到a9＜0，由S8＞S7，S8=S7+a8，得到a8＞0，从而d=a9-a8＜0；由S9＞S7，得到a8+a9＞0，得到S16=8（a8+a9）＞0；由a8＞0，a9＜0，得数列{Sn}中的最大项为S8，；由8（a8+a9）＞0，得|a8|＞|a9|．
解答 解：∵S8＞S9，且S9=S8+a9，
∴S8＞S8+a9，即a9＜0，
又S8＞S7，S8=S7+a8，
∴S7+a8＞S7，即a8＞0，
∴d=a9-a8＜0，故①为真命题；
∵S9＞S7，S9=S7+a8+a9，
∴S7+a8+a9＞S7，即a8+a9＞0，
又∵a1+a15=2a8，
∴S15=$\frac{15（{a}_{1}+{a}_{15}）}{2}$=15a8＞0，
又∵a1+a16=a8+a9，
∴S16=$\frac{16（{a}_{1}+{a}_{16}）}{2}$=8（a8+a9）＞0，故②错误；
又a1+a17=2a9，
∴S17=$\frac{17（{a}_{1}+{a}_{17}）}{2}$=17a9＜0，
∵a8＞0，a9＜0，∴数列{Sn}中的最大项为S8，故③错误；
∵8（a8+a9）＞0，∴|a8|＞|a9|，故④正确；
故答案为：①④．
点评 本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．
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