Question

2．设实数x，y满足条件$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2≥0}\\{2x-y-4≤0}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为 12，则$\frac{3}{a}$+$\frac{4}{b}$的最小值为（　　）

• A． $\frac{49}{6}$
• B． $\frac{25}{6}$
• C． $\frac{8}{3}$
• D． 4

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数可得6a+8b=12，即$\frac{a}{2}+\frac{2b}{3}=1$．然后利用“1”的代换，结合基本不等式求得最值．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2≥0}\\{2x-y-4≤0}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$作出可行域如图，

联立$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2=0}\\{2x-y-4=0}\end{array}\right.$，解得A（6，8），
化目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）为$y=-\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}$，
由图可知，当直线为$y=-\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}$过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为6a+8b=12．
∴$\frac{a}{2}+\frac{2b}{3}=1$．
则$\frac{3}{a}$+$\frac{4}{b}$=（$\frac{3}{a}+\frac{4}{b}$）（$\frac{a}{2}+\frac{2b}{3}$）=$\frac{3}{2}+\frac{8}{3}+\frac{2a}{b}+\frac{2b}{a}$$≥\frac{3}{2}+\frac{8}{3}+4=\frac{49}{6}$．
当且仅当a=b=$\frac{6}{7}$时上式等号成立．
故选：A．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．