Question

12．已知命题p：函数f（x）=x³+ax²+x在R上是增函数；命题q：若函数g（x）=e^x-x+a在区间[0，+∞）没有零点．
（1）如果命题p为真命题，求实数a的取值范围；
（2）命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）如果命题p为真命题，则f′（x）=3x²+2ax+1≥0对x∈（-∞，+∞）恒成立，进而得到实数a的取值范围；
（2）如果命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，则p，q一真一假，进而得到实数a的取值范围．

解答 解：（1）如果命题p为真命题，
∵函数f（x）=x³+ax²+x在R上是增函数，
∴f′（x）=3x²+2ax+1≥0对x∈（-∞，+∞）恒成立…（3分）
∴$△=4{a^2}-12≤0⇒a∈[{-\sqrt{3}，\sqrt{3}}]$…（6分）
（2）g′（x）=e^x-1≥0对任意的x∈[0，+∞）恒成立，
∴g（x）在区间[0，+∞）递增
命题q为真命题g（0）=a+1＞0⇒a＞-1…（9分）
由命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题知p，q一真一假，
若p真q假，则$\left\{\begin{array}{l}-\sqrt{3}≤a≤\sqrt{3}\\ a≤-1\end{array}\right.⇒a∈[{-\sqrt{3}，-1}]$…（11分）
若p假q真，则$\left\{\begin{array}{l}a＜-\sqrt{3}或a＞\sqrt{3}\\ a＞-1\end{array}\right.⇒a∈（\sqrt{3}，+∞）$…（13分）
综上所述，$a∈[{-\sqrt{3}，-1}]∪（\sqrt{3}，+∞）$…（14分）

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了导数法研究函数的单调性，复合命题，函数的零点，难度中档．