Question

10．已知a＜0，解关于x的不等式ax²+（2-a）x-2＞0．

Answer 1

分析 不等式可因式分解为（ax+1）（x-1）＞0，
由a＜0，左右两边同时除以a，得$[{x-（-\frac{1}{a}）}]（x-1）＜0$，
进而讨论$-\frac{1}{a}$和1的大小，写出对应的解集．

解答 解：不等式ax²+（2-a）x-2＞0可化为（ax+1）（x-1）＞0，
∵a＜0，左右两边同时除以a，得
$[{x-（-\frac{1}{a}）}]（x-1）＜0$，
比较$-\frac{1}{a}$和1的大小，得：
①当-1＜a＜0时，∵$-\frac{1}{a}＞1$，且原不等式可化为$[{x-（-\frac{1}{a}）}]（x-1）＜0$，
∴其解集为$\left\{{x|1＜x＜-\frac{1}{a}}\right\}$；
②当a=-1时，∵$1=-\frac{1}{a}$，且原不等式可化为（x-1）²＜0，其解集为∅；
③当a＜-1时，∵$1＞-\frac{1}{a}$，且原不等式可化为$[{x-（-\frac{1}{a}）}]（x-1）＜0$，
∴其解集为$\left\{{x|-\frac{1}{a}＜x＜1}\right\}$；
综上：当-1＜a＜0时，解集为$\left\{{x|1＜x＜-\frac{1}{a}}\right\}$；
当时a=-1，解集为∅；
当a＜-1时，解集为$\left\{{x|-\frac{1}{a}＜x＜1}\right\}$．

点评 本题考查了用分类讨论法求含有字母系数的一元二次不等式的问题，是基础题目．