Question

已知x₀，x₀+

π

2

是函数f（x）=cos²（wx-

π

6

）-sin²wx（ω＞0）的两个相邻的零点
（1）求f(

π

12

)的值；
（2）若对?x∈[-

7π

12

，0]，都有|f（x）-m|≤1，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：（1）先求出周期，确定函数解析式即可求f(

π

12

)的值；
（2））由|f（x）-m|≤1可得f（x）-1≤m≤f（x）+1，对?x∈[-

7π

12

，0]，都有|f（x）-m|≤1，可得f（x）_max=

3

4

，f（x）_min=-

3

2

，故可求实数m的取值范围．

解答： 解：（1）f（x）=

1+cos(2ωx- π 3 )

2

-

1-cos2ωx

2

=

1

2

[cos(2ωx-

π

3

)+cos2ωx]
=

1

2

[(

1

2

cos2ωx+

3

2

sin2ωx)+cos2ωx]=

1

2

(

3

2

sin2ωx+

3

2

cos2ωx)
=

3

2

（

1

2

sin2ωx+

3

2

cos2ωx）=

3

2

sin(2ωx+

π

3

)．
由题意可知，f（x）的最小正周期T=π，
∴

2π

|2ω|

=π，
又∵ω＞0，∴ω=1，∴f（x）=

3

2

sin(2x+

π

3

)．
∴f(

π

12

)=

3

2

sin(2×

π

12

+

π

3

)=

3

2

sin

π

2

=

3

2

．
（2）|f（x）-m|≤1，?f（x）-1≤m≤f（x）+1，
∵对?x∈[-

7π

12

，0]，都有|f（x）-m|≤1，
∴m≥f（x）_max-1且m≤f（x）_min+1，
∵-

7π

12

≤x≤0，∴-

5π

6

≤2x+

π

3

≤

π

3

，∴-1≤sin(2x+

π

3

)≤

3

2

，
∴-

3

2

≤

3

2

sin(2x+

π

3

)≤

3

4

，
即f（x）_max=

3

4

，f（x）_min=-

3

2

，
∴-

1

4

≤m≤1-

3

2

．

点评：本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，考察了不等式的解法，属于中档题．