Question

已知锐角△ABC中，角A、B、C的对边长分别为a、b、c，向量

m

=（cosC+sinC，1），

n

=（cosC-sinC，

1

2

），且

m

⊥

n

．
（1）求角C的大小；
（2）若边c=2，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,正弦定理

专题：平面向量及应用

分析：（1）利用向量垂直，数量积为0，得到关于角C的等式解之；
（2）利用正弦定理求出a，b用角表示，结合三角形的面积公式求最值．

解答： 解：（1）由已知，向量

m

=（cosC+sinC，1），

n

=（cosC-sinC，

1

2

），且

m

⊥

n

．
所以

m

•

n

=cos²C-sin²C+

1

2

=cos2C+

1

2

=0，所以cos2C=-

1

2

，所以2C=120°，所以C=60°；
（2）由正弦定理得a=

4 3

3

sinA，b=

4 3

3

sinB，
所以S=

1

2

absinC=

8

3

×

3

2

sinAsinB=

4 3

3

×

1

2

(cos(A-B)-cos(A+B))=

2 3

3

(cos(A-B)+

1

2

)，
所以cos（A-B）=1时，S最大为

3

；

点评：本题考查了正弦定理以及三角形面积公式的运用，属于中档题．