Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，

m

=（sin（x-A），sinA），

n

=（2cosx，1）（x∈R），函数f（x）=

m

•

n

在x=

5π

12

处取得最大值．
（1）当x∈（0，

π

2

）时，求函数f（x）的值域；
（2）若a=7且sinB+sinC=

13 3

14

，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,三角函数的最值

专题：计算题,解三角形

分析：（1）化简可得f（x）=sin（2x-A）．由已知可解得A的值，由x∈（0，

π

2

）从而确定函数f（x）的值域；
（2）由已知及由正弦定理得2R=

a

sinA

=

14 3

3

，可解得b+c=13，由余弦定理得，a²=b²+c²-2bccosA，解得bc=40，从而可求△ABC的面积．

解答： 解：（1）f（x）=

m

•

n

=2cosxsin（x-A）+sinA=2cosxsinxcosA-2cos2xsinA+sinA=sin2xcosA-sinAcos2x=sin（2x-A）．
∵函数f（x）=

m

•

n

在x=

5π

12

处取得最大值．
∴2×

5π

12

-A+2kπ=

π

2

，可解得A=

π

3

+2kπ，不妨取A=

π

3

．
∴f（x）=sin（2x-

π

3

）．
∵x∈（0，

π

2

）
∴-

π

3

＜2x-

π

3

＜

2π

3

∴-

3

2

＜sin（2x-

π

3

）≤1．
∴函数f（x）的值域为（-

3

2

，1]．
（2）∵a=7，sinA=sin

π

3

=

3

2

设△ABC的外接圆的半径为R，
则由正弦定理得，2R=

a

sinA

=

14 3

3

，
由sinB+sinC=

13 3

14

，得

b

2R

+

c

2R

=

13 3

14

，即b+c=13，
由余弦定理得，a²=b²+c²-2bccosA，
即49=（b+c）²-3bc，
解得bc=40，
所以△ABC的面积S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×40×

3

2

=10

3

．

点评：本题主要考察了两角和与差的正弦函数，三角函数的最值，属于基本知识的考查，属于中档题．