Question

10．已知函数$f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜\frac{π}{2}）$的部分图象如图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）当$x∈[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{12}}]$时，求函数$y=f（{x+\frac{π}{12}}）-\sqrt{2}f（{x+\frac{π}{3}}）$的最值．

Answer 1

分析 （1）由函数f（x）的部分图象，求出最小正周期T得ω；由f（$\frac{π}{3}$）=A求出φ，由f（0）=2求出A即得f（x）解析式；
（2）化函数y为正弦型函数，求出$x∈[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{12}}]$时函数y的最大、最小值即可．

解答 解：（1）由函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象知，
$\frac{3}{4}$T=$\frac{11π}{6}$-$\frac{π}{3}$=$\frac{3π}{2}$，
∴T=2π，
∴ω=$\frac{2π}{T}$=1；
又f（$\frac{π}{3}$）=Asin（$\frac{π}{3}$+φ）=A，且0＜φ＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{6}$；
∴f（0）=Asin$\frac{π}{6}$=2，
∴A=4；
∴f（x）=4sin（x+$\frac{π}{6}$）；
（2）函数$y=f（{x+\frac{π}{12}}）-\sqrt{2}f（{x+\frac{π}{3}}）$
=4sin（x+$\frac{π}{12}$+$\frac{π}{6}$）-4$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{6}$）
=4sin（x+$\frac{π}{4}$）-4$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{2}$）
=4×$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinx+4×$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosx-4$\sqrt{2}$cosx
=2$\sqrt{2}$sinx-2$\sqrt{2}$cosx
=4sin（x-$\frac{π}{4}$）；
当$x∈[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{12}}]$时，x-$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{3π}{4}$，-$\frac{π}{6}$]；
∴x-$\frac{π}{4}$=-$\frac{π}{2}$，即x=-$\frac{π}{4}$时，函数y取得最小值-4；
x-$\frac{π}{4}$=-$\frac{π}{6}$，即x=$\frac{π}{12}$时，函数y取得最大值-2．

点评 本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角恒等变换的应用问题，是综合题．