Question

19．已知函数$f（x）=\frac{2}{x}+alnx-2（a＞0）$，若对于?x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a-1）成立，则实数a的取值范围为（0，$\frac{2}{e}$）．

Answer 1

分析 求f′（x），根据导数的符号求出f（x）在（0，+∞）上的最小值，让最小值大于2（a-1），得到关于a的不等式，解该不等式，从而求出a的取值范围即可．

解答 解：f′（x）=$\frac{ax-2}{{x}^{2}}$，a＞0；
∴x＞$\frac{2}{a}$时，f′（x）＞0，0＜x＜$\frac{2}{a}$时，f′（x）＜0；
所以x=$\frac{2}{a}$时，f（x）取最小值f（$\frac{2}{a}$）=a+aln$\frac{2}{a}$-2；
因为对于?x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a-1）成立；
∴a+aln$\frac{2}{a}$-2＞2（a-1）；
∴aln$\frac{2}{a}$＞a；
∴ln$\frac{2}{a}$＞1，$\frac{2}{a}$＞e；
∴0＜a＜$\frac{2}{e}$；
∴a的取值范围为（0，$\frac{2}{e}$），
故答案为：（0，$\frac{2}{e}$）．

点评 考查通过求导数，根据导数的符号判断函数的单调性，以及根据导数符号求函数的最小值的方法，注意正确求导．