Question

10．已知等比数列{a_n}的各项均为正数，且a₂=4，a₃+a₄=24．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b₁=3，b₂=6，且{b_n-a_n}是等差数列，求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设正项等比数列{a_n}的公比为q，由$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}q=4}\\{{a}_{1}{q}^{2}+{a}_{1}{q}^{3}=24}\end{array}\right.$可求得q，从而可求得数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）由b₁=3，b₂=6，且{b_n-a_n}是等差数列，可得数列{b_n-a_n}是首项为1，公差为d=1的等差数列，继而可得${b_n}=n+{2^n}$，利用分组求和法即可求得数列{b_n}的前n项和．

解答 （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比为q，依题意 q＞0．
因为$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}q=4}\\{{a}_{1}{q}^{2}+{a}_{1}{q}^{3}=24}\end{array}\right.$，
两式相除得：q²+q-6=0，
解得 q=2，q=-3（舍去）．
所以 ${a_1}=\frac{a_2}{q}=2$．
所以数列{a_n}的通项公式为 ${a_n}={a_1}•{q^{n-1}}={2^n}$．…（6分）
（Ⅱ）解：由已知可得b₁-a₁=3-2=1，b₂-a₂=6-4=2，
因为{b_n-a_n}为等差数列，
所以数列{b_n-a_n}是首项为1，公差为d=1的等差数列．
所以 b_n-a_n=1+（n-1）=n．
则${b_n}=n+{2^n}$．
因此数列{b_n}的前n项和：${T_n}=1+2+2+{2^2}+3+{2^3}+…+n+{2^n}$=（1+2+3+…+n）+（2+2²+2³+…+2ⁿ）=$\frac{{{n^2}+n}}{2}+{2^{n+1}}-2$．…（13分）

点评 本题考查数列的求和，考查等比数列的通项公式的应用，考查等差数列关系的确定及分组求和的运用，属于中档题．