Question

8．已知动点P（x，y）在椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1上，F为椭圆C的右焦点，若点M满足|$\overrightarrow{MF}$|=1且$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{MF}$=0，则|$\overrightarrow{PM}$|的最小值为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 依题意知，该椭圆的焦点F（3，0），点M在以F（3，0）为圆心，1为半径的圆上，当PF最小时，切线长PM最小，作出图形，即可得到答案．

解答 解：依题意知，点M在以F（3，0）为圆心，1为半径的圆上，PM为圆的切线，
且$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{MF}$=0，即PM⊥MF，
∴|PM|²=|PF|²-|MF|²，而|MF|=1，
∴当PF最小时，切线长PM最小．

由图知，当点P为右顶点（5，0）时，|PF|最小，最小值为：5-3=2．
此时|PM|=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程、圆的方程，考查作图与分析问题解决问题的能力，属于中档题．