题目内容
已知函数f（x）=x2+3x|x-a|，其中a∈R，设a≠0，函数f（x）在开区间（m，n）上既有最大值又有最小值，求m、n的取值范围．
考点：函数的最值及其几何意义
专题：函数的性质及应用
分析：利用绝对值的几何意义，分类讨论，确定函数的单调性，）要使函数在（m，n）上既有最大值又有最小值，则最小值在x=a处取得，最大值在x=
处取得，然后根据条件确定m，n的取值范围即可．
| 3a |
| 4 |
解答：
解：当x≥a时，f（x）=x2+3x|x-a|=4x2-3ax=4（x-
）2-
，
当x＜a时，f（x）=x2+3x|x-a|=-2x2+3ax=-2（x-
）2+
，
要使得函数f（x）在开区间（m，n）内既有最大值又有最小值，则最小值一定在x=a处取得，最大值在x=
处取得；
f（a）=a2，在区间（-∞，a）内，函数值为a2时x=
a，
此时
≤m＜
；
f（
）=
，而在区间（a，+∞）内函数值为
，
此时x=
a，
∴a＜n≤
a．
| 3a |
| 8 |
| 9a2 |
| 16 |
当x＜a时，f（x）=x2+3x|x-a|=-2x2+3ax=-2（x-
| 3a |
| 4 |
| 9a2 |
| 8 |
要使得函数f（x）在开区间（m，n）内既有最大值又有最小值，则最小值一定在x=a处取得，最大值在x=
| 3a |
| 4 |
f（a）=a2，在区间（-∞，a）内，函数值为a2时x=
| 1 |
| 2 |
此时
| a |
| 2 |
| 3a |
| 4 |
f（
| 3a |
| 4 |
| 9a2 |
| 8 |
| 9a2 |
| 8 |
此时x=
3+3
| ||
| 8 |
∴a＜n≤
3+3
| ||
| 8 |
点评：本题主要考查带有绝对值的函数，求二次函数在闭区间上的最值，体现了转化、数形结合的数学思想，难度较大，综合性较强．
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已知集合M={x|-2≤x≤8}，n={x|x2-3x+2≤0}，在集合M中任取一个元素x，则“x∈M∩N”的概率是（ ）
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|
若不等式log2（|x+1|+|x-2|-m）≥2恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
| A、（-∞，-3] |
| B、[-3，-1] |
| C、[-1，3] |
| D、（-∞，-1] |
圆O的半径为2，△ABC是其内接三角形，BC=3，则
2-
2的最大值为（ ）
| AC |
| AB |
| A、6 | B、9 | C、10 | D、12 |