Question

设函数g（x）=

1

3

x³+

1

2

ax²-bx，（a，b∈R）在其图象上一点P（x，y）处的切线的斜率记为f（x）．
（Ⅰ）若方程f（x）=0有两个实根分别为-2和4，求

∫

4 -2

f（x）dx；
（Ⅱ）若g（x）在区间[-1，3]上是单调递减函数，求a²+b²的最小值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,定积分,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：（Ⅰ）求导函数，利用f（x）=0有两个实根分别为-2和4，求出f（x），再求

∫

4 -2

f（x）dx；
（Ⅱ）由g（x）在区间[-1，3]上是单调递减函数，可得f（x）=g′（x）=x²+ax-b≤0在区间[-1，3]上恒成立，求出

a+b≥1 b-3a≥9

，再利用a²+b²可视为

a+b≥1 b-3a≥9

内的点到原点距离的平方，即可求a²+b²的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）由题意，f（x）=g′（x）=x²+ax-b，
∵方程f（x）=0有两个实根分别为-2和4，
∴-2和4是x²+ax-b=0的两个实根，
∴

-2+4=-a -2×4=-b

，
∴a=-2，b=8，
∴f（x）=x²-2x-8，
∴

∫

4 -2

f（x）dx=

∫

4 -2

（x²-2x-8）dx=（

1

3

x³-x²-8x）

|

4 -2

=-36；
（Ⅱ）∵g（x）在区间[-1，3]上是单调递减函数，
∴f（x）=g′（x）=x²+ax-b≤0在区间[-1，3]上恒成立，
∴

f(-1)≤0 f(3)≤0

，∴

a+b≥1 b-3a≥9

，
a²+b²可视为

a+b≥1 b-3a≥9

内的点到原点距离的平方，其中点（-2，3）距离原点最近，
∴a=-2，b=3时，a²+b²的最小值为13．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，正确求导是关键．