Question

已知曲线C的极坐标方程是ρ=1，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为

x=2- 3 2 t y= 1 2 t

（t为参数）．
（1）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
（2）设曲线C经过伸缩变换

x′=3x y′=y

得到曲线C′，设曲线C′上任一点为M（x，y）．求点M到直线l的距离的最大值．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程

专题：计算题,坐标系和参数方程

分析：（1）运用代入法，即可得到直线l的直角坐标方程；由x=ρcosθ，y=ρsinθ，p²=x²+y²，即可得到C的直角坐标方程．
（2）求出C'的方程，再由参数方程，设M（3cosθ，sinθ），由点到直线的距离公式，运用两角和的正弦公式化简，结合正弦函数的最值，即可得到所求的最大值．

解答： 解：（1）直线l的参数方程为

x=2- 3 2 t y= 1 2 t

（t为参数），则消去t，得x=2-

3

y，
即l：x+

3

y-2=0；
曲线C的极坐标方程是ρ=1，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，p²=x²+y²，
得C：x²+y²=1
（2）由于曲线C经过伸缩变换

x′=3x y′=y

得到曲线C′，
则

x= x′ 3 y=y′

即

x′2

9

+y'²=1，
即有C′：

x2

9

+y2=1，
设M（3cosθ，sinθ），
则M到l距离d=

|3cosθ+ 3 sinθ-2|

2

=

|2 3 sin(θ+ π 3 )-2|

2

，
故dmax=

3

+1．

点评：本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查参数方程的运用，求最值，考查运算能力，属于中档题．