Question

已知函数f（x）=e^2x-1-2x．
（1）求函数f（x）的导数f'（x）；
（2）证明：e^2x-1＞2x-2．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,导数的运算

专题：导数的综合应用

分析：（1）利用导数的性质能求出f（x）=e^2x-1-2x的导数．
（2）由f′（x）=2e^2x-1-2=0 解得x=

1

2

，由导数性质得f(x)min=f(

1

2

)=0，由此能证明e^2x-1＞2x-2．

解答： （1）解：∵f（x）=e^2x-1-2x，
∴f′（x）=2e^2x-1-2．（4分）
（2）证明：由f′（x）=2e^2x-1-2=0 解得x=

1

2

，
x∈(-∞，

1

2

) 时，f'（x）＜0；
x∈(

1

2

，+∞) 时，f'（x）＞0．…（6分）
∴当x=

1

2

时，f(x)min=f(

1

2

)=0，
∴f（x）≥0＞-2，即e^2x-1-2x＞-2，
∴e^2x-1＞2x-2．…（10分）

点评：本题考查导数的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．