Question

6．已知数列{a_n}满足条件$\frac{1}{3}{a_1}+\frac{1}{3^2}{a_2}+\frac{1}{3^3}{a_3}+…+\frac{1}{3^n}{a_n}=3n+1$，则数列{a_n}的通项公式为（　　）

• A． ${a_n}={3^n}$
• B． ${a_n}={3^{n+1}}$
• C． ${a_n}=\left\{\begin{array}{l}12，n=1\\{3^n}，n≥2\end{array}\right.$
• D． ${a_n}=\left\{\begin{array}{l}12，n=1\\{3^{n+1}}，n≥2\end{array}\right.$

Answer 1

分析 利用数列的递推关系式，直接求解数列的通项公式即可．

解答 解：数列{a_n}满足条件$\frac{1}{3}{a_1}+\frac{1}{3^2}{a_2}+\frac{1}{3^3}{a_3}+…+\frac{1}{3^n}{a_n}=3n+1$，
可得：$\frac{1}{3}{a}_{1}+\frac{1}{{3}^{2}}{a}_{2}+\frac{1}{{3}^{3}}{a}_{3}+…+\frac{1}{{3}^{n-1}}{a}_{n-1}$=3n-2，（n≥2）．
两式作差可得：$\frac{1}{{3}^{n}}$a_n=3，
可得：a_n=3ⁿ⁺¹，
当n=1时，a₁=12，
${a_n}=\left\{\begin{array}{l}12，n=1\\{3^{n+1}}，n≥2\end{array}\right.$．
故选：D．

点评 本题考查数列的递推关系式以及通项公式的求法，考查计算能力．