Question

16．若“$?x∈[{0，\frac{π}{3}}]，m≥2tanx$”是真命题，则实数m的最小值为2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 将条件“$?x∈[{0，\frac{π}{3}}]，m≥2tanx$”是转化为“x∈[0，$\frac{π}{3}$]时，m≥2（tanx）_max”，再利用y=tanx在[0，$\frac{π}{3}$]的单调性求出tanx的最大值即可．

解答 解：∵“?x∈[0，$\sqrt{3}$]，m≥2tanx”是真命题，
∴x∈[0，$\frac{π}{3}$]时，m≥2（tanx）_max，
∵y=tanx在[0，$\frac{π}{3}$]的单调递增，
∴x=$\frac{π}{3}$时，tanx取得最大值为$\sqrt{3}$，
∴m≥2$\sqrt{3}$，即m的最小值$2\sqrt{3}$，
故答案为：2$\sqrt{3}$

点评 本题主要考查了转化思想，将恒成立问题转化为最值问题，再通过正切函数的单调性求出函数的最值即可，属于中档题．