Question

11．设x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+2≥0}\\{8x-y-4≤0}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$
（1）求目标函数z=3x-y的最大值；
（2）若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为6，求$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识即可得到结论．
（2）目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为6，推出ab的关系，然后利用基本不等式求$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$的最小值．

解答 解：（1）x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+2≥0}\\{8x-y-4≤0}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$的可行域如图：
当目标函数z=3x-y经过可行域的A时，取得最大值，
由$\left\{\begin{array}{l}{8x-y-4=0}\\{y=0}\end{array}\right.$可得A（$\frac{1}{2}$，0），
目标函数z=3x-y的最大值为：$\frac{3}{2}$；
（2）目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为6，
可知目标函数经过可行域的B时，取得最大值，
$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+2=0}\\{8x-y-4=0}\end{array}\right.$可得B（1，4），
此时a+4b=6，
即1=$\frac{a}{6}+\frac{2b}{3}$，
$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$=（$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$）（$\frac{a}{6}+\frac{2b}{3}$）=$\frac{1}{6}$+$\frac{8}{3}$+$\frac{2a}{3b}+\frac{2b}{3a}$≥$\frac{17}{6}+2\sqrt{\frac{2a}{3b}×\frac{2b}{3a}}$=$\frac{17}{6}+\frac{8}{6}$=$\frac{25}{6}$．
当且仅当：a=b，a+4b=6时取等号．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．考查基本不变的是的应用，转化思想以及计算能力．