Question

已知数列{a_n}满足：a₁=0，a_n+1=a_n+2

an+1

+1，n∈N^*．
（Ⅰ）证明：数列{

an+1

}是等差数列；
（Ⅱ）设an=(

bn

3n

)2-1，求正项数列{b_n}的前n和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的通项公式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：本题（Ⅰ）利用递推公式得到数列{

an+1

}的第n+1与第n项的关系，根据等差数列定义得到数列{

an+1

}是等差数列；（Ⅱ）利用已知数列{

an+1

}的通项公式，求出b_n的通项公式，用错位相减法，求出正项数列{b_n}的前n和S_n，得到本题结论．

解答： 解：（Ⅰ）∵a_n+1=a_n+2

an+1

+1，n∈N^*，
∴an+1+1=(

an+1

+1)2．
则：

an+1+1

-

an+1

=1，
所以数列{a_n+1}是以

a1+1

=1为首项，公差为1的等差数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知

an+1

=n，
∴an=n2-1．
∵an=(

bn

3n

)2-1，
∴bn=n•3n．
∴Sn=1•3+2•32+3•33+…+n•3n，…①
3Sn=1•32+2•33+3•34+…+n•3n+1，…②
由①-②得：S_n=

3

4

+

(2n-1)3n+1

4

．

点评：本题考查了数列的递推公式、错位相减法求和，本题难度不大，属于基础题．