Question

已知函数f（x）=Asin（φx+φ）的图象，如图求：
（1）f（x）的解析式
（2）f（x）的单调增区间
（3）使f（x）＜0的x的取值集合．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由图象求得A和周期，由周期公式求得ω，再由f（

π

4

）=1求得φ值，则函数解析式可求；
（2）直接由复合函数的单调性求单调区间；
（3）由正弦函数的象限符号得三角不等式，求解x的取值集合得答案．

解答： 解：（1）由图象知：A=1，

T

2

=

7π

4

-

π

4

=

3π

2

，
∴T=3π，
∴ω=

2π

T

=

2π

3π

=

2

3

，
因此f（x）=sin（

2

3

x+φ），
又∵f（x）过最高点(

π

4

，1)，
∴sin（

2

3

×

π

4

+φ）=1，
则

π

6

+φ=

π

2

+2kπ，φ=

π

3

+2kπ，k∈Z．
∴φ=

π

3

．
∴f(x)=sin(

2

3

x+

π

3

)；
（2）由2kπ-

π

2

≤

2

3

x+

π

3

≤

π

2

+2kπ，得：
3kπ-

5π

4

≤x≤3kπ+

π

4

，k∈Z．
∴函数f（x）的单调增区间为[3kπ-

5π

4

，3kπ+

π

4

]，k∈Z；
（3）由f（x）＜0，即sin(

2

3

x+

π

3

)＜0，得：
2kπ+π＜

2

3

x+

π

3

＜2π+2kπ，k∈Z，
解得：3kπ+π＜x＜

5π

2

+3kπ，k∈Z．
∴不等式f（x）＜0得解集为(3kπ+π，

5π

2

+3kπ)，k∈Z．

点评：本题考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象求函数解析式，考查了复合函数的单调性，训练了三角不等式的解法，是中档题．