Question

5．已知数列{a_n}的前n项的和S_n=n²+2n，数列{b_n}是正项等比数列，且满足a₁=2b₁，b₃（a₃-a₁）=b₁，n∈N^*．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）记c_n=$\frac{1}{3}{a_n}{b_n}$，求数列{c_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，即可求得a_n=2n+1，当n=1时，a₁=S₁=3，成立，即可求得数列{a_n}通项公式，由b₁=$\frac{1}{2}$a₁=$\frac{3}{2}$，a₃-a₁=4，$\frac{{b}_{3}}{{b}_{1}}$=$\frac{1}{{a}_{3}-{a}_{1}}$=$\frac{1}{4}$，即可求得q=$\frac{1}{2}$，根据等比数列通项公式，即可求得数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）由c_n=$\frac{1}{3}{a_n}{b_n}$=（2n+1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，利用“错位相减法”即可求得数列{c_n}的前n项和．

解答 解：（Ⅰ）数列{a_n}前n项的和S_n=n²+2n，
当n≥2时，S_n-1=（n-1）²+2（n-1），
a_n=S_n-S_n-1=n²+2n-[（n-1）²+2（n-1）]=2n+1，
当n=1时，a₁=S₁=3，成立，
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=2n+1，
∵数列{b_n}是正项等比数列，b₁=$\frac{1}{2}$a₁=$\frac{3}{2}$，a₃-a₁=4，
∴$\frac{{b}_{3}}{{b}_{1}}$=$\frac{1}{{a}_{3}-{a}_{1}}$=$\frac{1}{4}$，
∴公比为q=$\frac{1}{2}$，
数列{b_n}的通项公式为b_n=$\frac{3}{2}$•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=3•（$\frac{1}{2}$）ⁿ；
（Ⅱ）c_n=$\frac{1}{3}{a_n}{b_n}$=（2n+1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
设数列{c_n}的前n项的和为T_n，T_n=3•$\frac{1}{2}$+5•（$\frac{1}{2}$）²+…+（2n+1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
$\frac{1}{2}$T_n=3•（$\frac{1}{2}$）²+5•（$\frac{1}{2}$）³+…+（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ+（2n+1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
两式相减得：（1-$\frac{1}{2}$）T_n=3•$\frac{1}{2}$+[（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）³+…+（$\frac{1}{2}$）ⁿ]-（2n+1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
$\frac{1}{2}$T_n=3•$\frac{1}{2}$+2[$\frac{（\frac{1}{2}）^{2}[1-（\frac{1}{2}）^{n-1}]}{1-\frac{1}{2}}$]-（2n+1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
∴T_n=5-（2n+5）（$\frac{1}{2}$）ⁿ．
数列{c_n}的前n项和${T_n}=5-（2n+5）{（{\frac{1}{2}}）^n}$．

点评 本题考查等差数列和等比数列通项公式，考查“错位相减法”求数列的前n项和，考查计算能力，属于中档题．