Question

19．已知A，B，C三点都在体积为$\frac{500π}{3}$的球O的表面上，若AB=4，∠ACB=30°，则球心O到平面ABC的距离为3．

Answer 1

分析 设球的半径为R，则$\frac{4π{R}^{3}}{3}$=$\frac{500π}{3}$，解得R．设△ABC的外接圆的半径为r，2r=$\frac{AB}{sin∠ACB}$，解得r．可得球心O到平面ABC的距离d=$\sqrt{{R}^{2}-{r}^{2}}$．

解答 解：设球的半径为R，则$\frac{4π{R}^{3}}{3}$=$\frac{500π}{3}$，解得R=5．
设△ABC的外接圆的半径为r，2r=$\frac{AB}{sin∠ACB}$=$\frac{4}{sin3{0}^{°}}$=8，解得r=4．
∴球心O到平面ABC的距离d=$\sqrt{{R}^{2}-{r}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3．
故答案为：3．

点评 本题考查了球的体积计算公式及其性质、三角形的外接圆的半径、正弦定理、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．