Question

已知函数f（x）=sin（x+θ）+cos（x+θ）的定义域为R，
（1）当θ=0时，求f（x）的单调区间；
（2）若θ∈（0，π），且sinx≠0，当θ为何值时，f（x）为偶函数．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,函数奇偶性的性质

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）当θ=0时，利用辅助角公式求出f（x）的表达式，即可求出函数的单调递增区间；
（2）利用辅助角公式，求出函数f（x）的表达式，利用三角函数的图象和性质即可得到结论．

解答： 解：（1）当θ=0时，f（x）=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），
2kπ-

π

2

≤x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，2kπ-

3π

4

≤x≤2kπ+

π

4

，f（x）为递增；
2kπ+

π

2

≤x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

，2kπ+

π

4

≤x≤2kπ+

5π

4

，f（x）为递减；
∴f（x）的递增区间为[2kπ-

3π

4

，2kπ+

π

4

]，
f（x）的递减区间为[2kπ+

π

4

，2kπ+

5π

4

]，k∈Z；
（2）f（x）=sin（x+θ）+cos（x+θ）=

2

sin（x+θ+

π

4

），
若f（x）为偶函数，则θ+

π

4

=

π

2

+kπ，
即有θ=

π

4

+kπ，k∈Z，
若θ∈（0，π），且sinx≠0，
∴当k=0时，θ=

π

4

．

点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式求出函数f（x）的表达式是解决本题的关键，属于中档题．