Question

已知不等式组

x-y-1≤0 x+y-2≥0 x＞0

，求：
（1）z=x²+y²的最小值；
（2）u=

y

x

的取值范围；
（3）u=|2x+y+1|的最小值；
（4）m=x-y的最大值．

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：数形结合,不等式的解法及应用

分析：由约束条件作出可行域．
（1）由原点到直线x+y-2=0的距离的平方得答案；
（2）由两点求斜率求得u=

y

x

的取值范围；
（3）令t=2x+y+1，求出其最小值且为正值，则u=|2x+y+1|的最小值可求；
（4）直接数形结合求m=x-y的最大值．

解答： 解：由约束条件作出可行域如图，

（1）由图可知，z=x²+y²的最小值为O到直线x+y-2=0的距离的平方，等于(

|-2|

2

)2=2；
（2）由u=

y

x

-

y-0

x-0

，而kOA=

1 2

3 2

=

1

3

，∴u=

y

x

的取值范围是[

1

3

，+∞)；
（3）令t=2x+y+1，则y=-2x+t-1，由图可知，当直线y=-2x+t-1过点B（0，2）时，直线在y轴上的截距最小，t最小等于3，∴u=|2x+y+1|的最小值为3；
（4）由m=x-y，得y=x-m，当该直线与y=x-1重合时，直线在y轴上的截距最小，m有最大值为1．

点评：本题考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，是中档题．