Question

关于函数y=f（x）有下列四个叙述：
①对于函数定义域内的任意x，都有f（x+2π）=f（x）成立；
②函数y=f（x）没有最大值；
③函数y=f（x）在区间（0，

π

2

）上是单调递增的；
④函数y=f（x）的图象关于原点对称．
（1）指出函数y=xsinx符合上述哪几个叙述；
（2）问是否存在符合上述四个叙述的函数，请说明理由．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用,三角函数的求值

分析：（1）分析函数y=xsinx的周期性，最值，单调性，对称性，可得函数y=xsinx符合叙述②③；
（2）分析正切函数y=tanx的周期性，最值，单调性，对称性，可得正切函数y=tanx符合上述四个叙述．

解答： 解：（1）函数y=xsinx不是周期函数，故不满足①，
函数y=xsinx没有最大值，故满足②，
函数y′=sinx+xcosx，当x∈（0，

π

2

）时，y′＞0，故函数y=xsinx在区间（0，

π

2

）上是单调递增，故满足③，
函数y=xsinx没有对称中心，其对称轴为y轴，故不满足④，
即函数y=xsinx符合叙述②③；
（2）正切函数y=tanx，满足上述四个叙述，
∵2π是正切函数y=tanx的一个周期，故f（x+2π）=f（x）恒成立，满足①，
正切函数y=tanx没有最大值，满足②，
正切函数y=tanx在区间（0，

π

2

）上是单调递增的，满足③，
正切函数y=tanx的图象关于原点对称，满足④．

点评：本题以命题的真假判断为载体考查了函数的周期性，最值，单调性，对称性，难度中档．