已知椭圆C的中心在原点.焦点在x轴上.离心率等于$\frac{1}{2}$.它的一个顶点恰好是抛物线x2=8$\sqrt{3}$y的焦点．(1)求椭圆C的标准方程,(2)直线x=-2与椭圆交于P.Q两点.A.B是椭圆上位于直线x=-2两侧的动点．①若直线AB的斜率为$\frac{1}{2}$.求四边形APBQ面积的最大值,②当动点A.B满足∠APQ=∠BPQ时.试问直线AB� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

20．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于$\frac{1}{2}$，它的一个顶点恰好是抛物线x²=8$\sqrt{3}$y的焦点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）直线x=-2与椭圆交于P，Q两点，A，B是椭圆上位于直线x=-2两侧的动点．
①若直线AB的斜率为$\frac{1}{2}$，求四边形APBQ面积的最大值；
②当动点A，B满足∠APQ=∠BPQ时，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．

分析（1）设椭圆标准方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0），由已知得b=2$\sqrt{3}$，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，由此能求出椭圆C的标准方程．
（2）①先求出|PQ|=6，设直线AB的方程为$y=\frac{1}{2}x+m$，与$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$联立，得x²+mx+m²-12=0，由此利用根的判别式、韦达定理、椭圆弦长公式，结合已知能求出四边形APBQ面积的最大值．
②设PA斜率为k，则PB斜率为-k．分别设出PA的直线方程和PB的直线方程，分别与椭圆联立，能求出直线AB的斜率是为定值．

解答解：（1）∵椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，∴设椭圆标准方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0），
∵椭圆离心率等于$\frac{1}{2}$，它的一个顶点恰好是抛物线x²=8$\sqrt{3}$y的焦点．
${x^2}=8\sqrt{3}y$焦点为$（0，2\sqrt{3}）$，
∴b=2$\sqrt{3}$…（1分）e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a²-b²=c²，
∴解得a²=16，b²=12
∴椭圆C的标准方程$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$．…（3分）
（2）①直线 x=-2与椭圆$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$交点P（-2，3），Q（-2，-3）或P（-2，-3），Q（-2，3），∴|PQ|=6，…（4分）
设A （x₁，y₁ ），B（ x₂，y₂），直线AB的方程为$y=\frac{1}{2}x+m$，
与$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$联立，得 x²+mx+m²-12=0，
由△=m²-4（m²-12）＞0，得-4＜m＜4，
由韦达定理得x₁+x₂=-m，${x_1}{x_2}={m^2}-12$，…（6分）
由A，B两点位于直线x=-2两侧，得（x₁+2）（x₂+2）＜0，
即x₁x₂+2（x₁+x₂）+4＜0∴m²-2m-8＜0
解得-2＜m＜4，…（7分）
∴S=$\frac{1}{2}$•|PQ|•|x₁-x₂|
=$\frac{1}{2}$•|PQ|•$\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}$
=3$\sqrt{48-3{m^2}}$，
∴当m=0时，S最大值为$12\sqrt{3}$．…（8分）
②当∠APQ=∠BPQ时直线PA，PB斜率之和为0．
设PA斜率为k，则PB斜率为-k．
当P（-2，3），Q（-2，-3）时，
PA的直线方程为y-3=k（x+2）…（9分）
与椭圆联立得（3+4k²）x²+8k（2k+3）x+4（2k+3）²-48=0
∴${x_1}+（-2）=\frac{{-16{k^2}-24k}}{{3+4{k^2}}}$；
同理${x_2}+（-2）=\frac{{-16{k^2}+24k}}{{3+4{k^2}}}$
∴${x_1}+{x_2}=\frac{{12-16{k^2}}}{{3+4{k^2}}}$…（10分）
${x_1}-{x_2}=\frac{-48k}{{3+4{k^2}}}$y₁-y₂=k（x₁+2）+3-[-k（x₂+2）+3]
直线AB斜率为$\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=-\frac{1}{2}$…（11分）
当P（-2，-3），Q（-2，3）时，同理可得直线AB斜率为$\frac{1}{2}$．…（12分）