题目内容
20．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于$\frac{1}{2}$，它的一个顶点恰好是抛物线x2=8$\sqrt{3}$y的焦点．（1）求椭圆C的标准方程；
（2）直线x=-2与椭圆交于P，Q两点，A，B是椭圆上位于直线x=-2两侧的动点．
①若直线AB的斜率为$\frac{1}{2}$，求四边形APBQ面积的最大值；
②当动点A，B满足∠APQ=∠BPQ时，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．
分析 （1）设椭圆标准方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0），由已知得b=2$\sqrt{3}$，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，由此能求出椭圆C的标准方程．
（2）①先求出|PQ|=6，设直线AB的方程为$y=\frac{1}{2}x+m$，与$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$联立，得x2+mx+m2-12=0，由此利用根的判别式、韦达定理、椭圆弦长公式，结合已知能求出四边形APBQ面积的最大值．
②设PA斜率为k，则PB斜率为-k．分别设出PA的直线方程和PB的直线方程，分别与椭圆联立，能求出直线AB的斜率是为定值．
解答 解：（1）∵椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，∴设椭圆标准方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0），
∵椭圆离心率等于$\frac{1}{2}$，它的一个顶点恰好是抛物线x2=8$\sqrt{3}$y的焦点．
${x^2}=8\sqrt{3}y$焦点为$（0，2\sqrt{3}）$，
∴b=2$\sqrt{3}$…（1分）e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a2-b2=c2，
∴解得a2=16，b2=12
∴椭圆C的标准方程$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$．…（3分）
（2）①直线 x=-2与椭圆$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$交点P（-2，3），Q（-2，-3）或P（-2，-3），Q（-2，3），∴|PQ|=6，…（4分）
设A （x1，y1 ），B（ x2，y2），直线AB的方程为$y=\frac{1}{2}x+m$，
与$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$联立，得 x2+mx+m2-12=0，
由△=m2-4（m2-12）＞0，得-4＜m＜4，
由韦达定理得x1+x2=-m，${x_1}{x_2}={m^2}-12$，…（6分）
由A，B两点位于直线x=-2两侧，得（x1+2）（x2+2）＜0，
即x1x2+2（x1+x2）+4＜0∴m2-2m-8＜0
解得-2＜m＜4，…（7分）
∴S=$\frac{1}{2}$•|PQ|•|x1-x2|
=$\frac{1}{2}$•|PQ|•$\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}$
=3$\sqrt{48-3{m^2}}$，
∴当m=0时，S最大值为$12\sqrt{3}$．…（8分）
②当∠APQ=∠BPQ时直线PA，PB斜率之和为0．
设PA斜率为k，则PB斜率为-k．
当P（-2，3），Q（-2，-3）时，
PA的直线方程为y-3=k（x+2）…（9分）
与椭圆联立得（3+4k2）x2+8k（2k+3）x+4（2k+3）2-48=0
∴${x_1}+（-2）=\frac{{-16{k^2}-24k}}{{3+4{k^2}}}$；
同理${x_2}+（-2）=\frac{{-16{k^2}+24k}}{{3+4{k^2}}}$
∴${x_1}+{x_2}=\frac{{12-16{k^2}}}{{3+4{k^2}}}$…（10分）
${x_1}-{x_2}=\frac{-48k}{{3+4{k^2}}}$y1-y2=k（x1+2）+3-[-k（x2+2）+3]
直线AB斜率为$\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=-\frac{1}{2}$…（11分）
当P（-2，-3），Q（-2，3）时，同理可得直线AB斜率为$\frac{1}{2}$．…（12分）
点评 本题考查椭圆标准方程的求法，考查四边形面积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、椭圆弦长公式的合理运用．
| A． | （-∞，0） | B． | （2，+∞） | C． | （0，1） | D． | [1，2） |
| A． | $\frac{1}{4}$ | B． | $\frac{1}{6}$ | C． | $\frac{1}{8}$ | D． | $\frac{1}{12}$ |
| A． | $\frac{{\sqrt{6}}}{6}$ | B． | $\frac{{\sqrt{6}}}{3}$ | C． | $\frac{{\sqrt{6}}}{12}$ | D． | $\frac{{\sqrt{6}}}{4}$ |