Question

10．函数f（x）与g（x）=（$\frac{1}{2}$）^x的图象关于直线y=x对称，则f（x²-2x）的单增区间为（　　）

• A． （-∞，0）
• B． （2，+∞）
• C． （0，1）
• D． [1，2）

Answer 1

分析 由条件可知f（x），g（x）互为反函数，从而得到$f（x）=lo{g}_{\frac{1}{2}}x$，这便得出$f（{x}^{2}-2x）=lo{g}_{\frac{1}{2}}（{x}^{2}-2x）$，该函数是由$y=lo{g}_{\frac{1}{2}}t$和t=x²-2x复合而成的复合函数，根据复合函数的单调性即可求出该函数的单调增区间．

解答 解：由题意知，f（x）与g（x）互为反函数；
∴$f（x）=lo{g}_{\frac{1}{2}}x$；
∴$f（{x}^{2}-2x）=lo{g}_{\frac{1}{2}}（{x}^{2}-2x）$，令x²-2x=t，t＞0，则$y=lo{g}_{\frac{1}{2}}t$为减函数；
t=x²-2x的单调减区间为（-∞，0）；
∴复合函数f（x²-2x）的单调增区间为（-∞，0）．
故选：A．

点评 考查反函数的概念，反函数和原函数图象的对称性，以及指数式和对数式的互化，对数函数和二次函数的单调性，复合函数单调区间的求法．